题目内容

【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.

(1)求证:直线BD1∥平面PAC;
(2)求证:平面PAC⊥平面BDD1

【答案】
(1)证明:设AC和BD交于点O,连接PO,

∵P,O分别是DD1,BD的中点,∴PO∥BD1

又∵BD1面PAC,PO面PAC,

∴BD1∥面PAC


(2)证明:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,

∴底面ABCD是正方形,则AC⊥BD.

∵DD1⊥面ABCD,∴DD1⊥AC,

∴AC⊥面BDD1

∵AC平面PAC,

∴平面PAC⊥平面BDD1


【解析】(1)设AC和BD交于点O,连接PO,由P,O分别是DD1 , BD的中点,知PO∥BD1 , 由此能够证明BD1∥面PAC.(2)由题设条件推导出AC⊥面BDD1 , 由此能够证明平面PAC⊥平面BDD1
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行,以及对平面与平面垂直的判定的理解,了解一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

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