Question

12．在△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{m}$=（cosB，-sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosC，sinC）．
（1）求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的大小；
（2）若a、b、c为角A、B、C的对边，a=2，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求b的长．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式，结合和角的余弦公式，即可求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的大小；
（2）求出sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，利用正弦定理，即可求b的长．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（cosB，-sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosC，sinC），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=-cosA=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵a=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴由正弦定理可得b=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量的数量积公式，和角的余弦公式，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．