题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)设函数,若函数
在区间
上存在正的极值,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为,单调递增区间为
;(2)
【解析】
(1)求导后,根据导函数的正负可确定所求的单调区间;
(2)求导后可知的正负由
决定,利用导数可求得
单调性和最值,根据
在
上有极值,可知
,解不等式求得
;分别在
和
两种情况下,根据
单调性确定
上的极值,结合导数确定极值的正负,从而得到结果.
(1)当时,
,其定义域为
.
,令
得:
,令
得:
,
的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2),
,
令,
,则
.
令得:
,令
得:
,
函数
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
又,
,
,显然
.
若函数在区间
上存在极值,则
,解得:
.
①当,即
时,一定存在
,使得
,
不妨设,则此时
,
在区间
上为负,在区间
上为正,在区间
上为负,
在区间
上为负,在区间
上为正,在区间
上为负,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
,
.
当
时,函数
在区间
上存在两个极值
,
,且
.
,令
,其中
.
,
在区间
上单调递增,
即当时,
,
,
当
时,函数
在区间
上的极值满足
,即函数
在区间
上存在正的极值.
②当,即
时,一定存在
,使得
,使得函数
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
则函数在区间
上的极大值是
,且
,
当
时,函数
在
上存在正的极值.
综上所述:当时,函数
在区间
上存在正的极值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着网上购物的普及,传统的实体店遭受到了强烈的冲击,某商场实体店近九年来的纯利润如下表所示:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
时间代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
实体店纯利润 | 2 | 2.3 | 2.5 | 2.9 | 3 | 2.5 | 2.1 | 1.7 | 1.2 |
根据这9年的数据,对和
作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.254;根据后5年的数据,对
和
作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.985;
(1)如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润,现有两个方案:
方案一:选取这9年的数据,进行预测;
方案二:选取后5年的数据进行预测.
从生活实际背景以及相关性检验的角度分析,你觉得哪个方案更合适.
附:相关性检验的临界值表:
小概率 | ||
0.05 | 0.01 | |
3 | 0.878 | 0.959 |
7 | 0.666 | 0.798 |
(2)某机构调研了大量已经开店的店主,据统计,只开网店的占调查总人数的,既开网店又开实体店的占调查总人数的
,现以此调查统计结果作为概率,若从上述统计的店主中随机抽查了5位,求只开实体店的人数的分布列及期望.