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1．已知在数列{an}中，a1=1，a2=2，anan+1an+2=an+an+1+an+2，且an+1an+2≠1，求{an}的前2005项和S2005．

分析 依题意可知，anan+1an+2=an+an+1+an+2，an+1an+2an+3=an+1+an+2+an+3，两式相减得an+1an+2（an+3-an）=an+3-an，可得an+3=an，因此数列{an}是以3为周期的数列，即可得出．

解答 解：依题意可知，anan+1an+2=an+an+1+an+2，an+1an+2an+3=an+1+an+2+an+3，
两式相减得an+1an+2（an+3-an）=an+3-an，
∵an+1an+2≠1，
∴an+3-an=0，即an+3=an，
∴数列{an}是以3为周期的数列，
∵a1a2a3=a1+a2+a3，∴a3=3
∴S2005=668×（1+2+3）+a1=4008+1=4009．

点评 本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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