题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,四边形为正方形,面,且,为中点.
(1)证明://平面;
(2)证明:平面平面;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)连接BD与AC交于点O,连接EO,证明EO//PB,由线线平行证明线面平行即可;(2)通过证明CD平面PAD来证明平面平面;(3)以A为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,通过空间向量的方法求二面角的余弦值.
(1)证明:连结BD交AC于点O,连结EO.
O为BD中点,E为PD中点,
∴EO//PB.
EO平面AEC,PB平面AEC,
∴ PB//平面AEC.
(2)证明:PA⊥平面ABCD.平面ABCD,
∴.
又在正方形ABCD中且,
∴CD平面PAD.
又平面PCD,
∴平面平面.
(3)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) .
PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0, 0, 2).
设平面AEC的法向量为,, ,
则,即
∴令 ,则.
∴,
二面角的余弦值为
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