题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且中点.

(1)证明://平面

(2)证明:平面平面

(3)求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)

【解析】

(1)连接BD与AC交于点O,连接EO,证明EO//PB,由线线平行证明线面平行即可;(2)通过证明CD平面PAD来证明平面平面;(3)以A为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,通过空间向量的方法求二面角的余弦值.

(1)证明:连结BD交AC于点O,连结EO.

O为BD中点,E为PD中点,

∴EO//PB.

EO平面AEC,PB平面AEC,

∴ PB//平面AEC.

(2)证明:PA⊥平面ABCD.平面ABCD,

在正方形ABCD中

∴CD平面PAD.

平面PCD,

∴平面平面

(3)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),

D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) .

PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0, 0, 2).

设平面AEC的法向量为,, ,

,

∴令 ,则.

,

二面角的余弦值为

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