题目内容

【题目】已知椭圆的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.

(Ⅰ)若,求的面积;

(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点,设上一点,且满足为坐标原点),当时,求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)3或1(Ⅱ).

【解析】

(I)利用椭圆的焦距、离心率即可得到椭圆的标准方程;设,利用向量的数量积及点满足椭圆的方程即可得出点的坐标有两种,分别利用三角形面积公式计算即可;(Ⅱ)设,把直线的方程与椭圆方程联立得到判别式△满足的条件及其根与系数的关系,再利用向量的模的计算公式即可得出.

(Ⅰ)由题意知:,又

解得:∴椭圆的方程为:

可得:,设,则

,∴,即

,或,或

①当的坐标为时,,且

②当的坐标为时,,所以为直角三角形,

综上可知:或1.

(Ⅱ)由题意可知直线的斜率存在.设

得:

得:

,∴

,结合得:∵,∴

从而

∵点在椭圆上,∴,整理得:

,∴,或.

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