Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N⁺），向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），θ_n是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$与i的夹角，则$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+…+$\frac{cos{θ}_{9}}{sin{θ}_{9}}$=$\frac{9}{10}$．

Answer 1

分析 由点An（n，$\frac{1}{n+1}$）（n∈N⁺），向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），θ_n是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$与i的夹角，可得$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$=$\frac{1}{1×2}$，$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$=$\frac{1}{2×3}$，…，$\frac{cos{θ}_{9}}{sin{θ}_{9}}$=$\frac{1}{9×10}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：点An（n，$\frac{1}{n+1}$）（n∈N⁺），向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），θ_n是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$与i的夹角，
$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$=$\frac{1}{1×2}$，$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$=$\frac{1}{2×3}$，…，$\frac{cos{θ}_{9}}{sin{θ}_{9}}$=$\frac{1}{9×10}$，
∴$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+…+$\frac{cos{θ}_{9}}{sin{θ}_{9}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{9}-\frac{1}{10}）$=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$，
故答案为：$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．