题目内容
14.已知数列{an}中,a1=1,且an+1=22n•an+2n2(n∈N*),求数列{an}的通项公式.分析 通过对an+1=22n•an+2n2(n∈N*)两边同时除以2n可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n(n+1)}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n(n-1)}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$,进而利用累加法计算即得结论.
解答 解:∵an+1=22n•an+2n2(n∈N*),
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n(n+1)}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n(n-1)}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$,
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n(n-1)}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{(n-1)(n-2)}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$,…,$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}$=$\frac{1}{2}$,
累加得:$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n(n-1)}}$=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}$+$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}$
=1+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$,
∴an=(2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$)•2n(n-1)=${2}^{{n}^{2}-n+1}$-${2}^{(n-1)^{2}}$.
点评 本题考查数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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5.根据如下样本数据
得到的回归方程为$\widehat{y}$=bx+a.若a=7.9,则b的值为-1.4.
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 4.0 | 2.5 | 0.5 | 0.5 | 2.0 |
2.用数学归纳法证明“1+2+…+n+(n-1)…+2+1=n2(n∈N+)”,从n=k到n=k+1时,左边添加的代数式为( )
A. | k+1 | B. | k+2 | C. | k+1+k | D. | 2(k+1) |
3.下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A. | y=x-1与y=$\sqrt{(x-1)^{2}}$ | B. | y=$\sqrt{x-1}$与y=$\frac{x-1}{\sqrt{x-1}}$ | ||
C. | y=lgx-2与y=lg$\frac{x}{100}$ | D. | y=4lgx与y=lgx2 |
4.若sinθ$\sqrt{{{sin}^2}θ}$+cosθ$\sqrt{{{cos}^2}θ}$=-1$(θ≠\frac{kπ}{2},k∈Z)$,则θ是第几象限角( )
A. | 第一象限角 | B. | 第二象限角 | C. | 第三象限角 | D. | 第四象限角 |