Question

2．已知直线l：ax+by+c=0及圆P：x²+y²=1，其中a，b，c满足条件：a²+b²=k²c²，其中（c≠0，k≠0）
（1）试讨论直线l与圆P的位置关系，
（2）若直线l被圆P截得的弦长为1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离d，通过直线l与⊙O相切?d=r?a²+b²=c²，即可判断出．
（2）利用垂径定理，通过弦长列出关系式，即可求出即可．

解答 解：（1）圆心O到直线l的距离d=$\frac{\left|c\right|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
直线l与⊙O相切?d=r?$\frac{\left|c\right|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1?a²+b²=c²，
此时k=±1，
如果k∈（-1，1），则a²+b²＜c²，直线与圆的位置关系是相离；
如果k∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则a²+b²＞c²，直线与圆的位置关系是相交；
（2）直线l被圆P截得的弦长为1，可得1=2$\sqrt{1-{（\frac{\left|c\right|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}）}^{2}}$，
解得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{3}{4}$，即a²+b²=$\frac{4}{3}$c²，∴k²=$\frac{4}{3}$，k=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了直线与圆相切的充要条件、直线与圆的位置关系的判定，垂径定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．