题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,上顶点为
,
的面积为1,且椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点在椭圆上且位于第二象限,过点
作直线
,过点
作直线
,若直线
的交点
恰好也在椭圆
上,求点
的坐标.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据题设条件,列出的方程组,结合
,求得
的值,即可得到椭圆的标准方程;
(2)设,分
和
两种情况讨论,当
时,联立
的方程组,取得
,再结合椭圆的对称性,列出方程组,即可求解
(1)由椭圆的上顶点为
,
的面积为1,且椭圆
的离心率为
,
可得,解得
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)由(1)知,椭圆的方程,可得
,
,
设,则
,
.
当时,
与
相交于点
不符合题意;
当时,直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
因为,
,所以直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
所以直线的方程为
,直线
的方程为
,
联立和
的方程,解得
,
,所以
,
因为点在椭圆
上,由椭圆的对称性,可知
,
所以或
,
由方程组,解得
,而方程组
无解(舍去),
所以点的坐标为
.
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