Question

设函数f（x）=log

9x 3

•lo

g

3x 3

，且

1

9

≤x≤9
（1）求f（3）的值；
（2）若令t=log₃x，求t取值范围；
（3）将f（x）表示成以t（t=log₃x）为自变量的函数，并由此，求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．

Answer 1

分析：（1）根据对数的运算法则即可求得；
（2）由对数运算性质及

1

9

≤x≤9，即可求得t的范围；
（3）根据对数运算法则可把f（x）转化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最值，通过解对数方程可解得相应x的值；

解答：解：（1）f（3）=log₃27•log₃9=3×2=6；
（2）t=log₃x，又∵

1

9

≤x≤9，
∴-2≤log₃x≤2，
∴-2≤t≤2即t的取值范围为[-2，2]；
（3）由f（x）=（log₃x+2）（log₃x+1）=(log3x)2+3log3x+2=t²+3t+2，
令g（t）=t²+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，t∈[-2，2]，
①当t=-

3

2

时，g（t）_min=-

1

4

，即log₃x=-

3

2

，解得x=3-

3

2

=

3

9

，
f（x）_min=-

1

4

，此时x=-

3

9

；
②当t=2时，g（t）_max=g（2）=12，即log₃x=2?x=9，
∴f（x）_max=12，此时x=9；

点评：本题考查对数的运算法则、函数求值及二次函数性质，考查转化思想，解决本题的关键是掌握对数的运算法则．