Question

已知函数f（x）=e^2x-1-2x-kx²
（Ⅰ）当k=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求k的取值范围．
（Ⅲ）试比较

e2n-1

e2-1

与

2n3

3

+

n

3

（n为任意非负整数）的大小关系，并给出证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取x=0后，求出函数的导函数，由导函数大于0和导函数小于0分别求出函数的单调区间；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，以k≤2和k＞2进行分类讨论，由k≤2时，说明原函数在[0，+∞）上为增函数，说明f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，k＞2时，说明这种情况不存在；
（Ⅲ）结合（Ⅱ），说明函数f（x）当k=2时为增函数，把不等式变形e^2x≥2x²+2x+1=x²+（x+1）²后，依次取x的值为0，1，2…，（n-1），累加后利用等比数列求和公式可得结论．

解答：解：（Ⅰ）当k=0时，f（x）=e^2x-1-2x，
f^′（x）=2e^2x-2，
令f^′（x）＞0，则2e^2x-2＞0，解得：x＞0．
令f^′（x）＜0，则2e^2x-2＜0，解得：x＜0．
所以，函数f（x）=e^2x-1-2x的单调增区间为（0，+∞）．
单调减区间为（-∞，0）．
（Ⅱ）由函数f（x）=e^2x-1-2x-kx²，
则f^′（x）=2e^2x-2kx-2=2（e^2x-kx-1），
令g（x）=e^2x-kx-1，
则g^′（x）=2e^2x-k．
由x≥0，
所以，①当k≤2时，g^′（x）≥0，g（x）为增函数，而g（0）=0，
所以g（x）≥0，即f^′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，
而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
②当k＞2时，令g^′（x）＜0，即2e^2x-k＜0，则0≤x＜

1

2

ln

k

2

．
即g（x）在[0，

1

2

ln

k

2

）上为减函数，而g（0）=0，所以，g（x）在[0，

1

2

ln

k

2

）上小于0．
即f^′（x）＜0，所以，f（x）在[0，

1

2

ln

k

2

）上为减函数，而f（0）=0，故此时f（x）＜0，不合题意．
综上，k≤2．
（Ⅲ）

e2n-1

e2-1

≥

2n3

3

+

n

3

．
事实上，由（Ⅱ）知，f（x）=e^2x-1-2x-2x²在[0，+∞）上为增函数，
所以，e^2x≥2x²+2x+1=x²+（x+1）²，
则e⁰≥1²
e²≥1²+2²
e⁴≥2²+3²
e⁶≥3²+4²
…
e^2（n-1）≥（n-1）²+n²
累加得：1+e²+e⁴+e⁶+…+e^2（n-1）≥2（1²+2²+3²+…+（n-1）²）+n²．
即

1-e2n

1-e2

≥2×

(n-1)n(2n-1)

6

+n2．
所以，

e2n-1

e2-1

≥

2n3

3

+

n

3

．

点评：本题考查了利用导函数研究函数的单调性，考查了函数中的恒成立问题，考查了不等式的证明，解答此题的关键是运用导函数分析函数的单调性，同时考查了学生灵活的变式思维能力，此题属难题．