题目内容
【题目】已知函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断并证明函数的单调性;
(3)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)增函数,证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)由奇函数的定义,化简变形得出
对任意的
恒成立,由此可求出实数
的值;
(2)任取,作差
,因式分解后判断
的符号,得出
和
的大小关系,即可证明出函数
的单调性;
(3)由得出
,利用函数
的单调性得出
,则
对
恒成立,求出函数
在区间
上的最小值,即可得出实数
的取值范围.
(1)函数是奇函数,又
,
,即
,
整理得,即
对任意的
恒成立,
,解得
;
(2)是
上的增函数,理由如下:
在上任取
,
,
.
是
上的增函数;
(3),且函数
是奇函数,
所以,
函数
是
上的增函数,
,
对
恒成立,
,
,
因此,实数的取值范围是
.
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