题目内容
10.已知函数f(x)=-x2+1,g(x)=f[f(x)],是否存在实数p<0,使得函数F(x)=pg(x)+f(x)在(-3,0)上单调递增,且在(-∞,-3]上单调递减?若存在,求出p的值,若不存在,请说明理由.分析 函数F(x)=pg(x)+f(x)=-px4+(2p-1)x2+1,若满足条件,则F′(-3)=0,求出p值,验证后可得结论.
解答 解:存在p=$-\frac{1}{17}$满足条件,理由如下:
∵函数f(x)=-x2+1,
∴g(x)=f[f(x)]=-(-x2+1)2+1=-x4+2x2,
∴函数F(x)=pg(x)+f(x)=-px4+(2p-1)x2+1,
则F′(x)=-4px3+2(2p-1)x,
若函数F(x)在(-3,0)上单调递增,且在(-∞,-3]上单调递减,
则F′(-3)=96p+6=0,解得:p=-$\frac{1}{16}$,
此时F′(x)=$\frac{1}{4}$x(x+3)(x-3),
当x∈(-∞,-3]时,F′(x)≤0,函数F(x)为减函数,
当x∈(-3,0)时,F′(x)>0,函数F(x)为增函数,满足条件;
故存在p=-$\frac{1}{16}$满足条件.
点评 本题考察了函数的单调性,导数的应用,难度中档.
练习册系列答案
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5.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税,超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按表分段累计计算:
(1)请写出月工资、薪金的个人所得税y关于月工资、薪金收入x(0<x≤5000)的函数表达式;
(2)某人一月份应交纳税此项税款为26.78元,那么他当月的工资,薪金所得是多少?
级数 | 全月应纳税所得额 | 税率 |
1 | 不超过500元的部分 | 5% |
2 | 超过500元至2000元的部分 | 10% |
3 | 超过2000元至5000元的部分 | 15% |
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