题目内容
13．证明：f（x）=x2+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上为单调增函数．分析 利用函数单调性的定义进行证明即可．
解答 证明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x2x1＜x2，
f（x2）-f（x1）
=${x}_{2}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-（${x}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=${x}_{2}^{2}$-${x}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=（x2+x1）（x2-x1）+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}*{x}_{2}}$
=（x2-x1）（x1+x2-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
=（x2-x1）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$
而由题设可知x2-x1＞0，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴=（x2-x1）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
点评 本题主要考察学生利用定义法证明和判断函数的单调性，要注意答题的规范性．
练习册系列答案
相关题目
某校举行2010年元旦汇演，如图是7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是85，方差为1.6．
