Question

7．凸四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，对角线AC、BD交于点O，求sin∠AOB．

Answer 1

分析 由∠BAD=∠BCD=90°可知A、B、C、D四点共圆，欲求sin∠AOB，联想到托勒密定理，只须求出BC、AD即可．

解答 解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴A、B、C、D四点共圆；
延长BA、CD交于P，
则∠ADP=∠ABC=60°，
AD=x，有AP=$\sqrt{3}$x，DP=2x，
由割线定理，得（2+$\sqrt{3}$x）$\sqrt{3}$x=2x（1+2x），
解得AD=x=2$\sqrt{3}$-2，BC=$\frac{1}{2}$BP=4-$\sqrt{3}$，
由托勒密定理有
BD•CA=（4-$\sqrt{3}$）（2$\sqrt{3}$-2）+2×1=10$\sqrt{3}$-12．
又S_ABCD=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故sin∠AOB=$\frac{15+6\sqrt{3}}{26}$．

点评 本题考查了锐角三角函数值的求法，切割线定理，涉及解一元二次方程．关键是明确所求角的三角函数，将问题进行转化．