题目内容
【题目】设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.
【答案】(1)单调递增
(2)[1,+∞)
【解析】
(1)f ’(x)=(1-2x-x2)ex
令f’(x)=0得x=-1- ,x=-1+
当x∈(-∞,-1-)时,f’(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f’(x)>0;当x∈(-1-,+∞)时,f’(x)<0
所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)单调递减,在(-1-,-1+)单调递增
(2) f (x)=(1+x)(1-x)ex
当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h’(x)= -xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1,
故h(x)≤1,所以
f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1
当0<a<1时,设函数g(x)=ex-x-1,g’(x)=ex-1>0(x>0),所以g(x)在在[0,+∞)单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1
当0<x<1,,,取
则
当
综上,a的取值范围[1,+∞)
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