题目内容
【题目】如图所示,已知曲线C1:y=(x>0)及曲线C2:y=
(x>0).C1上的点Pn的横坐标为an,
过C1上的点Pn(n∈N+)作直线平行于x轴,交曲线C2于点Qn,再过点Qn作直线平行于y轴,交曲线C1于点Pn+1.
试求an+1与an之间的关系,并证明a2n-1<<a2n(n∈N+).
【答案】,证明见解析.
【解析】
由已知,Pn,从而有
,由Qn在y=
上,代入可得
,由a1>0,及
,知an>0,下证:
解法一:由=
,可得an+1
与
异号,即可证明.
解法二:由 ,可得
=
,
=
,可得
,利用等比数列的通项公式可得an,进而证明.
由已知,Pn,从而有
,
因为Qn在y=上,所以有
=
,
解得 ,
由a1>0,及 ,知an>0,
下证:
解法一:因为=
,所以an+1
与
异号,
注意到<0,知
<0,
>0,
即
解法二:由 ,可得
=
,
=
,
所以有,即
是以
为公比的等比数列;
设,则
解得,
从而有
由可得
,
所以,
.
所以.
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