Question

【题目】已知函数f(x)＝ln x－mx＋n，m，n∈R.

(1)若函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线为y＝2x－1，求m，n的值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若n＝0，不等式f(x)＋m<0对x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）当m≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当m>0时，f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，＋∞)； （3）[1，＋∞).

【解析】

（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点坐标，再由已知切线方程即可得到m，n；

（2求出导数，讨论m的范围，当m≤0时，当m＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；

（3）设g（x）=lnx﹣mx+m，即有g（x）max＜0在x＞1恒成立．求出g（x）的导数，对m讨论，①当m≤0时，②当m＞0时，③当≤1即m≥1时，④当＞1即0＜m＜1时，通过单调性求得最大值，即可得到m的范围．

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(1)∵f′(x)＝－m，∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝1－m＝2，∴m＝－1.又∵f(1)＝1，∴－m＋n＝1，∴n＝0.

(2)∵f′(x)＝－m，当m≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当m>0时，由f′(x)>0得0<x<，由f′(x)<0，得x>.综上所述：当m≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当m>0时，f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，＋∞)．

(3)由f(x)＋m<0得ln x－mx＋m<0在(1，＋∞)上恒成立，设g(x)＝ln x－mx＋m，即g(x)max<0在(1，＋∞)上成立．g′(x)＝－m，由(2)知，当m≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴对x∈(1，＋∞)，g(x)>g(1)＝0，即f(x)＋m>0(不合题意舍去)．当m>0时，g(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.①当≤1，即m≥1时，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴对x∈(1，＋∞)，g(x)max<g(1)＝0，即f(x)＋m<0，符合题意．②当>1，即0<m<1时，g(x)在上单调递增，在上单调递减，∴对x∈(1，＋∞)，g(x)max＝g>g(1)＝0，不合题意，舍去．综上所述，实数m的取值范围是[1，＋∞).