Question

16．（1）比较a²+b²与2（2a-b）-5的大小．
（2）已知a、b∈R⁺，求证：${a^a}{b^b}≥{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$当且仅当a=b时等号成立．

Answer 1

分析 （1）利用“作差法”和配方法即可得出；（2）利用相除法，再根据指数函数的性质即可比较．

解答 解：（1）∵a²+b²-[2（2a-b）-5]=（a-2）²+（b+1）²≥0，
∴a²+b²≥2（2a-b）-5，当且仅当a=2，b=-1时，取等号；
（2）解：设y=a^ab^b÷${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$=${（\frac{a}{b}）}^{\frac{a-b}{2}}$，
当a＞b时，$\frac{a}{b}$＞1，$\frac{a-b}{2}$＞0，据指数函数的性质可知y＞1，即a^ab^b≥${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$．
当a＜b时，0＜$\frac{a}{b}$＜1，$\frac{a-b}{2}$＜0，根据指数函数的性质可知y＞1，即a^ab^b≥${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$．
综上所述：${a^a}{b^b}≥{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$当且仅当a=b时等号成立．

点评 本题主要考查了等式的大小比较，需要分类讨论，属于基础题．