Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=1，求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，可得a，b的方程，解方程可得a，b的值；
（Ⅱ）求得导数，讨论a=0，a＞0，a＜0，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，进而得到极值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x+b的导数为f′（x）=x²-2ax-3a²，
f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1-2a-3a²，
由切线方程为y=1，可得f（1）=1，f′（1）=0，
即为$\frac{1}{3}$-a-3a²+b=1，1-2a-3a²=0，
解得a=-1，b=$\frac{8}{3}$或a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）f′（x）=x²-2ax-3a²=（x-3a）（x+a），
当a=0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
当a＞0时，-a＜3a，当x＞3a或x＜-a时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-a＜x＜3a时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=-a处取得极大值，且为b+$\frac{5}{3}$a³；x=3a处取得极小值，且为b-9a³．
当a＜0时，-a＞3a，当x＞-a或x＜3a时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当3a＜x＜-a时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=-a处取得极小值，且为b+$\frac{5}{3}$a³；x=3a处取得极大值，且为b-9a³．
综上可得，a=0时，f（x）的增区间为（-∞，+∞），无极值；
a＞0时，f（x）的增区间为（-∞，-a），（3a，+∞），减区间为（-a，3a），
极小值为b-9a³，极大值为b+$\frac{5}{3}$a³；
a＜0时，f（x）的减区间为（-∞，3a），（-a，+∞），增区间为（3a，-a），
极大值为b-9a³，极小值为b+$\frac{5}{3}$a³．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查分类讨论的思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．