题目内容

设函数f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的最大值．

解：（1）∵函数f（x）=-axⁿ（x-1）+b=axⁿ-axⁿ⁺¹+b，
∴f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，
可得f'（1）=-1，f（1）=0，
∴a=1，b=0．
（2）由（1）可知f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，
故f′（x）=-（n+1）xn（x- $\text{[math]}$ ），令f'（x）=0，得x= $\text{[math]}$
当x∈（0， $\text{[math]}$ ），f′（x）＞0，当x∈（ $\text{[math]}$ ，+∞），f′（x）＜0，
故函数f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递增；在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上最大值为f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
分析：由f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，可得f'（1）=-1，f（1）=0，则f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，由此能求出函数f（x）的最大值．
点评：本题考查函数的最大值的求法，正确求出解析式进而求对导函数得出函数的单调性是解决问题的关键，属中档题．