题目内容

(2009•黄浦区二模)已知点P(0,b)是y轴上的动点,点F(1,0)、M(a,0)满足PM⊥PF,动点N满足2
PN
+
NM
=
0

(1)求动点N所在曲线C的方程.
(2)已知点D(1,2)在曲线C上,若曲线C上两点A、B(都不同于D点)满足DA⊥DB,试证明直线AB必过定点,并求出这个定点的坐标.
分析:(1)设动点N(x,y),由于PM⊥PF,动点N满足2
PN
+
NM
=
0
.用坐标表示向量,可得坐标之间的关系,进而化简方程即可;
(2)利用DA⊥DB,用坐标表示对应的向量,从而有数量积为0,进而有y1y2=-2(y1+y2)-20.代入直线AB的方程,即可知直线恒过定点.
解答:解:(1)设动点N(x,y).                      (1分)
依据题意,有
PN
=(x,y-b),
PM
=(a,-b),
PF
=(1,-b)
NM
=(a-x,-y)
.(3分)
PM⊥PF,2
PN
+
NM
=
0
,则
PM
PF
=0
2
PN
=-
NM
,进一步有
a+b2=0
x=-a
y=2b

因此,y2=4x(x≥0).      (7分)
所以曲线C的方程是y2=4x(x≥0).                 (8分)
证明 (2)因A、B是曲线C:y2=4x(x≥0)上不同于D点的两点,
可设A(
y
2
1
4
y1)
B(
y
2
2
4
y2)(y1y2
y
 
1
y2都不等于2)
,则
DA
=(
y
2
1
4
-1,y1-2)
DB
=(
y
2
2
4
-1,y2-2)
AB
=(
y
2
2
4
-
y
2
1
4
y
 
2
-y1)
.                     (10分)
又DA⊥DB,故
DA
DB
=0,即(
y
2
1
4
-1)(
y
2
2
4
-1)+(y1-2)(y2-2)=0

进一步化简得y1y2=-2(y1+y2)-20.                         (12分)
由直线AB的法向量为
n
=(
y
 
1
-y2
y
2
2
4
-
y
2
1
4
)
,可得直线AB的方程:(y1-y2)•(x-
y_2 
4
)+(
y
2
2
4
-
y
2
1
4
)(y-y1)=0

x-
y1+y2
4
y+
y1y2
4
=0
.把y1y2=-2(y1+y2)-20代入此方程,得x-
y1+y2
4
y-
2(y1+y2)
4
-5=0
.(14分)
进一步把直线AB的方程化为(x-5)-
y1+y2
4
(y+2)=0
,知其恒过定点(5,-2).(15分)
所以直线AB:x-
y1+y2
4
y-
y1+y2
2
-5=0
恒过定点,且定点坐标为(5,-2).    (16分)
证毕!
点评:本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系,主要考查轨迹方程的求解,考查直线恒过定点问题,关键是用坐标表示向量,利用向量的数量积为0解决,恒过定点应注意其求解的策略.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网