题目内容
(2009•黄浦区二模)已知点P(0,b)是y轴上的动点,点F(1,0)、M(a,0)满足PM⊥PF,动点N满足2
+
=
.
(1)求动点N所在曲线C的方程.
(2)已知点D(1,2)在曲线C上,若曲线C上两点A、B(都不同于D点)满足DA⊥DB,试证明直线AB必过定点,并求出这个定点的坐标.
PN |
NM |
0 |
(1)求动点N所在曲线C的方程.
(2)已知点D(1,2)在曲线C上,若曲线C上两点A、B(都不同于D点)满足DA⊥DB,试证明直线AB必过定点,并求出这个定点的坐标.
分析:(1)设动点N(x,y),由于PM⊥PF,动点N满足2
+
=
.用坐标表示向量,可得坐标之间的关系,进而化简方程即可;
(2)利用DA⊥DB,用坐标表示对应的向量,从而有数量积为0,进而有y1y2=-2(y1+y2)-20.代入直线AB的方程,即可知直线恒过定点.
PN |
NM |
0 |
(2)利用DA⊥DB,用坐标表示对应的向量,从而有数量积为0,进而有y1y2=-2(y1+y2)-20.代入直线AB的方程,即可知直线恒过定点.
解答:解:(1)设动点N(x,y). (1分)
依据题意,有
=(x,y-b),
=(a,-b),
=(1,-b),
=(a-x,-y).(3分)
又PM⊥PF,2
+
=
,则
,进一步有
.
因此,y2=4x(x≥0). (7分)
所以曲线C的方程是y2=4x(x≥0). (8分)
证明 (2)因A、B是曲线C:y2=4x(x≥0)上不同于D点的两点,
可设A(
,y1)、B(
,y2)(y1≠y2,
与y2都不等于2),则
=(
-1,y1-2)、
=(
-1,y2-2),
=(
-
,
-y1). (10分)
又DA⊥DB,故
•
=0,即(
-1)(
-1)+(y1-2)(y2-2)=0,
进一步化简得y1y2=-2(y1+y2)-20. (12分)
由直线AB的法向量为
=(
-y2,
-
),可得直线AB的方程:(y1-y2)•(x-
)+(
-
)(y-y1)=0,
即x-
y+
=0.把y1y2=-2(y1+y2)-20代入此方程,得x-
y-
-5=0.(14分)
进一步把直线AB的方程化为(x-5)-
(y+2)=0,知其恒过定点(5,-2).(15分)
所以直线AB:x-
y-
-5=0恒过定点,且定点坐标为(5,-2). (16分)
证毕!
依据题意,有
PN |
PM |
PF |
NM |
又PM⊥PF,2
PN |
NM |
0 |
|
|
因此,y2=4x(x≥0). (7分)
所以曲线C的方程是y2=4x(x≥0). (8分)
证明 (2)因A、B是曲线C:y2=4x(x≥0)上不同于D点的两点,
可设A(
| ||
4 |
| ||
4 |
y | 1 |
DA |
| ||
4 |
DB |
| ||
4 |
AB |
| ||
4 |
| ||
4 |
y | 2 |
又DA⊥DB,故
DA |
DB |
| ||
4 |
| ||
4 |
进一步化简得y1y2=-2(y1+y2)-20. (12分)
由直线AB的法向量为
n |
y | 1 |
| ||
4 |
| ||
4 |
y_2 |
4 |
| ||
4 |
| ||
4 |
即x-
y1+y2 |
4 |
y1y2 |
4 |
y1+y2 |
4 |
2(y1+y2) |
4 |
进一步把直线AB的方程化为(x-5)-
y1+y2 |
4 |
所以直线AB:x-
y1+y2 |
4 |
y1+y2 |
2 |
证毕!
点评:本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系,主要考查轨迹方程的求解,考查直线恒过定点问题,关键是用坐标表示向量,利用向量的数量积为0解决,恒过定点应注意其求解的策略.
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