题目内容

3.已知正数a,b,c满足a2+b2+c2=6.
(Ⅰ)求a+2b+c的最大值M;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立,求实数m的取值范围.

分析 (Ⅰ)分析题目已知a2+b2+c2=6,求a+2b+c的最大值,考虑到柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+12)≥(a+2b+c)2,即可得到答案.
(Ⅱ)利用绝对值不等式的几何意义可求得|x+1|+|x+m|≥|x+1-(x+m)|=|m-1|,由题意及(Ⅰ)得,|m-1|≥6,从而可求得实数m的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)因为已知a、b、c是实数,且a2+b2+c2=6,
根据柯西不等式有(a2+b2+c2)(12+22+12)≥(a+2b+c)2
故(a+2b+c)2≤36,即a+2b+c≤6
即a+2b+c的最大值为6,
当且仅当$\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{1}$,即当a=c=1,b=2时取得最大值.…(4分)
(Ⅱ)因为|x+1|+|x+m|≥|x+1-(x+m)|=|m-1|,
由题意及(Ⅰ)得,|m-1|≥6,得m≥7或m≤-5.
综上,实数m的取值范围为m≥7或m≤-5.…(7分)

点评 本题考查柯西不等式,考查绝对值不等式的解法,掌握绝对值不等式的几何意义是解决问题的关键,属于中档题.

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