Question

【题目】在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N* ．
（1）证明数列{an﹣n}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）证明不等式Sn+1≤4Sn ， 对任意n∈N*皆成立．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题设an+1=4an﹣3n+1，得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），n∈N*．

又a1﹣1=1，所以数列{an﹣n}是首项为1，且公比为4的等比数列．

（2）解：由（1）可知an﹣n=4n﹣1，于是数列{an}的通项公式为an=4n﹣1+n．

所以数列{an}的前n项和 ．

（3）证明：对任意的n∈N*， = ．

所以不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．

【解析】（1）整理题设an+1=4an﹣3n+1得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），进而可推断数列{an﹣n}是等比数列．（2）由（1）可数列{an﹣n}的通项公式，进而可得{an}的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得Sn ． （3）把（2）中求得的Sn代入Sn+1﹣4Sn整理后根据 证明原式．
【考点精析】利用等比关系的确定和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．