题目内容
【题目】设函数,
为正实数.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求证: ;
(3)若函数有且只有
个零点,求
的值.
【答案】(1)(2)详见解析(3)
.
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得,所以先求导数
,代入即得
,又
,由点斜式得切线方程
(2)由于
,所以转化为证明
恒成立,即
,转化为利用导数求函数最值
(3)因为
,而
先增后减,且
,所以
必为最大值(极大值),解得
,最后证明当1不为极值点时,
的零点不唯一.
试题解析:(1)当时,
,则
,……………2分
所以,又
,
所以曲线在点
处的切线方程为
.…………4分
(2)因为,设函数
,
则, …………………………………………………6分
令,得
,列表如下:
极大值 |
所以的极大值为
.
所以.………………………………………………8分
(3),
,
令,得
,因为
,
所以在
上单调增,在
上单调减.
所以.………………………………………………10分
设,因为函数
只有1个零点,而
,
所以是函数
的唯一零点.
当时,
,
有且只有
个零点,
此时,解得
.…………………………………………12分
下证,当时,
的零点不唯一.
若,则
,此时
,即
,则
.
由(2)知, ,又函数
在以
和
为端点的闭区间上的图象不间断,
所以在和
之间存在
的零点,则
共有2个零点,不符合题意;
若,则
,此时
,即
,则
.
同理可得,在和
之间存在
的零点,则
共有2个零点,不符合题意.
因此,所以
的值为
.…………………………………………………16分
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