题目内容
【题目】已知函数.
(1)若在
上恒成立,求
的取值范围,并证明:对任意的
,都有
(2)设.讨论方程
实数根的个数
【答案】(1);证明见解析(2)当
时,方程
有一个实数解;当
时,方程
有两个不同的实数解;当
时,方程
没有实数解
【解析】
(1)在
上恒成立,分离参数得
,只需
,设
,利用求导求出其最大值为
,因此
;根据所证明不等式的结构特征,取
,
在
上成立,令
,
,即可证明不等式;
(2)由,分离参数可得
,设
,通过求导求出
单调区间,极值最值,以及函数值变化趋势,即可求出结论.
(1)由可得,
令,则
当时,
单调递增,
当时,
单调递减,
故在
处取得极大值,也是最大值,
要使,只需
,
故的取值范围为
,
显然,当时,有
,
即不等式在
上成立,
令,则有
所以,
即:;
(2)由可得,
,
即,令
,
则,
当时,
单调递增,
当时,
单调递减,
故在
处取得极大值
,也是最大值,
又当时,
,当
时,
所以,当时,方程
有一个实数解;
当时,方程
有两个不同的实数解;
当时,方程
没有实数解.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势:
下列叙述正确的是( )
A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B.这20天中的中度污染及以上的天数占
C.该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D.总体来说,该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【题目】某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):
若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.
(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;
(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,并根据频率分布直方图解决下面的问题.
组别 | 分组 | 频数 | 频率 | |
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 |
①估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
②若从所有员工中任选3人,记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求
的分布列和数学期望.