Question

在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，原点O是BC的中点，A点坐标为(

3

2

，

1

2

，0)，D点在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（Ⅰ）求D点坐标；
（Ⅱ）求cos＜

AD，

BC

＞的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在平面yoz上，通过解直角三角形即可求得D点的坐标；
（Ⅱ）由已知A点的坐标及（Ⅰ）中求得的D的坐标，得到向量

AD

的坐标，求出向量

BC

的坐标，然后由向量的夹角公式求解．

解答：解：（Ⅰ）如图，

在平面yoz上，过D点作DH⊥BC，垂足为H．
在△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
得BD=

1

2

BC=1，DH=BDsin∠DBH=1×

3

2

=

3

2

，BH=

1

2

BD=

1

2

，OH=

1

2

，
∴D点坐标为(0，-

1

2

，

3

2

)；
（Ⅱ）由A(

3

2

，

1

2

，0)， D(0，-

1

2

，

3

2

)，得

AD

=(-

3

2

，-1，

3

2

)，
由题设知：B（0，-1，0），C（0，1，0），
∴

BC

=(0，2，0)，

AD

•

BC

=(-

3

2

，-1，

3

2

)•(0，2，0)=-2，
|

AD

|=

(- 3 2 )2+(-1)2+( 3 2 )2

=

10

2

，|

BC

=2|，
∴cos＜

AD

， 

BC

＞ =

AD • BC

| AD |•| BC |

=

-2

10 2 ×2

=-

10

5

．

点评：本题考查了空间中点的坐标的求解，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，考查了学生的计算能力，是中档题．