Question

在如图所示的空间直角坐标系中，AB=AD=2，AC=4，E，F分别是AD，BD的中点．
（1）求直线CD与平面CEF所成角的正弦值；
（2）设点M在平面ABC内，满足DM⊥平面CEF，试求出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）求出面CEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线CD与平面CEF所成角的正弦值；
（2）因为DM⊥平面CEF，所以

DM

∥

n

，从而可求M的坐标．

解答：解：（1）由题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2），E（0，0，1），F（1，0，1），

CE

=（0，-4，1），

CF

=（1，-4，1）．
设平面CEF的一个法向量为

n

=（x，y，z）．则

n

•

CE

=0，即-4y+z=0，

n

•

CF

=0，x-4y+z=0．
所以x=0，z=4y．
取y=1，则z=4，所以

n

=（0，1，4）．
设直线CD与平面CEF所成角为θ，
又

CD

=（0，-4，2），则sinθ=|cos＜

CD

，

n

＞|=

|-4+8|

20 × 17

=

2 85

85

．
所以直线CD与平面CEF所成角的正弦值为

2 85

85

．
（2）设M（x，y，0），则

DM

=（x，y，-2）．
因为DM⊥平面CEF，所以

DM

∥

n

，所以x=0，

y

1

=

-2

4

，即y=-

1

2

．
所以M（0，-

1

2

，0）．

点评：本题考查线面角，考查线面垂直，考查学生的计算能力，属于中档题．