Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB=2，AC=4，AA₁=3．D是BC的中点．
（1）求直线A₁D与B₁C₁所成角的余弦值；
（2）求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

解：根据题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），
A₁（0，0，3），B₁（2，0，3），C₁（0，4，3），
由此可得=（1，2，-3），=（0，4，0），
=（1，-2，0），=（-2，4，0），=（1，-2，3）
（1）∵cos＜，＞==，
∴直线A₁D与B₁C₁所成角的余弦值为；
（2）设平面A₁C₁D的一个法向量为=（x，y，z），
则，取z=1得x=3，y=0，
∴=（3，0，1）是平面A₁C₁D的一个法向量
因此，设直线DB₁与平面A₁C₁D所成角为θ，
可得sinθ=cos＜，＞==，
即直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值等于．
分析：（1）根据题中所给的坐标系，可得A、B、C、D、A₁、B₁、C₁各点的坐标，由此得到向量、、、、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出cos＜，＞的值，即可得到直线A₁D与B₁C₁所成角的余弦值；
（2）设平面A₁C₁D的一个法向量为=（x，y，z），利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，0，1），从而得到直线DB₁与平面A₁C₁D所成角θ满足sinθ=cos＜，＞=，即得直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值．
点评：本题给出底面为直角三角形的直三棱柱，求异面直线所成角和直线与平面所成角的正弦值，着重考查了利用空间坐标系求空间直线与平面所成角和异面直线所成角等知识点，属于中档题．