Question

（2010•沅江市模拟）曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线与x轴及直线x+3y-3=0所围成的三角形面积为

5

3

．

Answer 1

分析：先由导数四则运算求函数y=xe^x+2x+1的导函数y′，再由导函数的几何意义，求出函数在点（0，1）处的切线方程，最后计算三条直线围成的三角形的顶点坐标，计算其面积即可

解答：解：∵y′=（xe^x）′+2=（x+1）e^x+2
∴曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线的斜率k=y′|_x=0=3
∴曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线的方程为y=3x+1
设切线与x轴交点为A，则A（-

1

3

，0）
设直线x+3y-3=0与x轴交点为B，则B（3，0）
设直线x+3y-3=0与切线y=3x+1交点为C，则C（0，1）
∴曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线与x轴及直线x+3y-3=0所围成的三角形面积为 S_△ABC=

1

2

|AB|×1=

1

2

×（3+

1

3

）=

5

3

故答案为

5

3

点评：本题考察了导数四则运算法则，导数的几何意义即应用，过曲线上一点的切线方程的求法等基础知识