题目内容
已知数列{f(n)}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.
(Ⅰ)求数列{f(n)}通项公式;
(Ⅱ)若a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N),求数列{an}的前n项和Tn.
(Ⅰ)求数列{f(n)}通项公式;
(Ⅱ)若a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N),求数列{an}的前n项和Tn.
分析:(Ⅰ)利用n≥2时,f(n)=Sn-Sn-1=2n+1.求解数列的通项公式.
(Ⅱ)判断数列{an+1}是首项为4,公比为2的等比数列.求出an=2n+1-1,(n∈N*).然后利用等比数列求和即可.
(Ⅱ)判断数列{an+1}是首项为4,公比为2的等比数列.求出an=2n+1-1,(n∈N*).然后利用等比数列求和即可.
解答:解:(Ⅰ)n≥2时,f(n)=Sn-Sn-1=2n+1.n=1时,f(1)=S1=3,适合上式,
∴f(n)=Sn-Sn-1=2n+1.(n∈N*).
(Ⅱ)a1=f(1)=3,an+1=2an+1,(n∈N*).即an+1+1=2(an+1).
∴数列{an+1}是首项为4,公比为2的等比数列.an+1=(a1+1)•2n+1=2n+1.
an=2n+1-1,(n∈N*).
Tn=22+23+24+…+2n+1-n=2n+2-4-n.
∴f(n)=Sn-Sn-1=2n+1.(n∈N*).
(Ⅱ)a1=f(1)=3,an+1=2an+1,(n∈N*).即an+1+1=2(an+1).
∴数列{an+1}是首项为4,公比为2的等比数列.an+1=(a1+1)•2n+1=2n+1.
an=2n+1-1,(n∈N*).
Tn=22+23+24+…+2n+1-n=2n+2-4-n.
点评:本题考查数列求和与数列的通项公式的求解,考查计算能力,数列的函数特征.

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