Question

已知数列{f（n）}满足nf²（n）-（n-1）f²（n-1）+f（n）f（n-1）=0且f（n）＞0
（1）求{f（n）}的通项公式；
（2）令a_n=3^1/f（n），b_n=4/f（n）+1（n∈N^*），若在数列{a_n}的前100项中，任取一项a_n，问a_n同
时也在数列是的某项的概率为多少？为什么？
（3）若将（2）中的前100项推广到前n项（n∈N^*），且记上述概率为P_n，试猜测

lim

n→∞

Pn（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）先将足nf²（n）-（n-1）f²（n-1）+f（n）f（n-1）=0化简成（nf（n）-（n-1）f（n-1））（f（n）+f（n-1））=0，而f（n）＞0则nf（n）=（n-1）f（n-1），最好根据f（1）=1可求出{f（n）}的通项公式；
（2）先求出{a_n}、{b_n}的通项公式，然后讨论n的奇偶，从而可求出在数列{a_n}的前100项中，任取一项a_n，则a_n同时也在数列是的某项的概率；
（3）分别求出当n为奇数时与偶数时的概率P_n，然后根据极限的定义求出

lim

n→∞

Pn的值即可．

解答：解：（1）由已知（nf（n）-（n-1）f（n-1））（f（n）+f（n-1））=0且f（n）＞0
∴nf（n）=（n-1）f（n-1），
∴nf（n）=（n-1）f（n-1）=…=1•f（1）=1∴f（n）=

1

n

（2）a_n=3ⁿ，b_n=4n+1，当n=2m，∴a_n=9^m=（8+1）^m=…=8Q+1=4（2Q）+1∈{b_n}
当n=2m+1，∴a_n=3（8+1）^m=…=4（6Q）+3∉{b_n}∴在{a_n}中前100项中，所求的概率P=

50

100

=

1

2

（3）∵Pn=

1 2 n-1 2n

(n为偶数) (n为奇数)

∴

lim

n→∞

Pn=

1

2

点评：本题主要考查了数列的通项公式，等可能事件的概率和数列的极限等有关知识，属于中档题．