Question

已知数列{f（n）}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．
（1）求数列{f（n）}通项公式；
（2）若a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N*），求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=n²+2n知，数列{f（n）}是一个等差数列，由公式Sn=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²知公差为2，首项为3，
（2）中的题由将（1）的结论代入可知，a₁=3，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，此数列可构造为a_n+1+1=2（a_n+1）可得出其为首项是4，公比为2的等比数列

解答：解：（1）∵S_n=n²+2n，∴数列{f（n）}是一个等差数列，
由等差数列前n项和公式S_n=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²知公差为2，首项为3
∴f（n）=2n+1；
（2）由题意a₁=f（1）=3，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1（n∈N*），
∵a_n+1+1=2（a_n+1）（n∈N*），
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=4为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，即a_n=2ⁿ⁺¹-1
∴数列{a_n}的前n项和T_n=

4×(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺²-n-4

点评：本题（1）是一个基本题，考查等差数列前n项和公式比较基本；（2）需要整理观察，要求有一定的观察配形的能力．