题目内容

已知数列{f(n)}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.
(1)求数列{f(n)}通项公式;
(2)若a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N*),求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的前n项和Tn
分析:(1)由Sn=n2+2n知,数列{f(n)}是一个等差数列,由公式Sn=(a1-
d
2
)×n+
d
2
n2知公差为2,首项为3,
(2)中的题由将(1)的结论代入可知,a1=3,an+1=f(an)=2an+1,此数列可构造为an+1+1=2(an+1)可得出其为首项是4,公比为2的等比数列
解答:解:(1)∵Sn=n2+2n,∴数列{f(n)}是一个等差数列,
由等差数列前n项和公式Sn=(a1-
d
2
)×n+
d
2
n2知公差为2,首项为3
∴f(n)=2n+1;
(2)由题意a1=f(1)=3,an+1=f(an)=2an+1(n∈N*),
∵an+1+1=2(an+1)(n∈N*),
∴数列{an+1}是以a1+1=4为首项,以2为公比的等比数列.
∴an+1=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-1
∴数列{an}的前n项和Tn=
4×(1-2n)
1-2
-n=2n+2-n-4
点评:本题(1)是一个基本题,考查等差数列前n项和公式比较基本;(2)需要整理观察,要求有一定的观察配形的能力.
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