Question

9．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n²，a₁=2．
（1）证明：数列{1+log₂a_n}为等比数列并求通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{2}}$+…$+\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）两边取对数，再由等比数列的定义和通项公式，即可得证；
（2）由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．

解答 证明：（1）a_n+1=2a_n²，
即有log₂a_n+1=1+2log₂a_n，
即为1+log₂a_n+1=2（1+log₂a_n），
即有数列{1+log₂a_n}为首项为2，公比为2的等比数列，
即有1+log₂a_n=2ⁿ；
（2）$\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{2}}$+…$+\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{n}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．
则不等式成立．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式的证明，以及构造数列和等比数列的求和公式的运用，属于中档题．