Question

19．已知等差数列{a_n}满足a₂=3，a₄+a₅=16．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=${2}^{{a}_{n}-1}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由已知条件推导出数列{b_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，由此能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵等差数列{a_n}满足a₂=3，a₄+a₅=16．
∴由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{2{a}_{1}+7d=16}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
即{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．（6分）
（2）由（1）知b_n=2^2n-2，b₁=1，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{2n}}{{2}^{2n-2}}$=4，
∴数列{b_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．（14分）

点评 本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．