题目内容

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C．求椭圆的标准方程．
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分析：先设出椭圆的标准方程，根据题意可求得c，进而求得a和b的关系式，通过C点的坐标代入椭圆的方程求得a和b的另一关系式，联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
解答：解：设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
依题意可知c=2，
∴a2-b2=4①
如图可知C点坐标为（2，3）代入椭圆方程得
4
a2
+
9
b2
=1②
①②联立求得a=4，b=2
3

∴椭圆的方程为：
x2
16
+
y2
12
=1
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生对椭圆基础知识的掌握．
练习册系列答案
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（2009•杭州二模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，记∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．
精英家教网如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为e=
15
4
，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）2+y2=r2是椭圆G的内接△ABC的内切圆．
（Ⅰ） 求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求圆O'的半径r；
（Ⅲ）过M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，判断直线EF与圆O'的位置关系，并证明．
（2013•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(
π
6
，
π
2
)．将角α的终边按逆时针方向旋转
π
3
，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
3
，求x2；
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．
精英家教网如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(
π
3
，
π
2
)．将角α的终边按逆时针方向旋转
π
6
，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
4
，求x2； 
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=S2，求角α的值．
精英家教网如图，在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0（x≥0），OB：
3
x+3y=0（x≥0），过点P（a，0）（a＞0）作直线l分别交射线OA，OB于A，B两点，且
AP
=2
PB
，则直线l的斜率为
 
．

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