Question

如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为e=

15

4

，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）²+y²=r²是椭圆G的内接△ABC的内切圆．
（Ⅰ） 求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求圆O'的半径r；
（Ⅲ）过M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，判断直线EF与圆O'的位置关系，并证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆G的离心率为e=

15

4

，左顶点A（-4，0），可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 可取BC⊥X轴时来研究，则可设B（2+r，y₀），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由

GD

AD

=

HB

AH

即 y0=

r 6+r

6-r

，再由点B（2+r，y₀）在椭圆上，建立关于r的方程求解．
（Ⅲ）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求k1=

-9+ 41

16

，k2=

-9- 41

16

，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．

解答：解：（Ⅰ） e=

15

4

=

c

a

，a=4得c=

15

，b=1，椭圆G方程为

x2

16

+y2=1-------（5分）
（Ⅱ）设B（2+r，y₀），过圆心o'作O'D⊥AB于D，BC交长轴于H
由

O′D

AD

=

HB

AH

得

r

36-r2

=

y0

6+r

，即     y0=

r 6+r

6-r

（1）---------（7分）
而点B（2+r，y₀）在椭圆上，y02=1-

(2+r)2

16

=

12-4r-r2

16

=-

(r-2)(r+6)

16

（2）-----（9分）
由（1）、（2）式得15r²+8r-12=0，解得r=

2

3

或r=-

6

5

（舍去）-------（11分）
（Ⅲ）直线EF与圆O'的相切
设过点M（0，1）与圆(x-2)2+y2=

4

9

相切的直线方程为：y-1=kx（3）
则

2

3

=

|2k+1|

1+k2

，即32k²+36k+5=0（4）
解得k1=

-9+ 41

16

，k2=

-9- 41

16

将（3）代入

x2

16

+y2=1得（16k²+1）x²+32kx=0，则异于零的解为x=-

32k

16k2+1

-------（13分）
设F（x₁，k₁x₁+1），E（x₂，k₂x₂+1），则x1=-

32k1

16k12+1

，x2=-

32k2

16k22+1

则直线FE的斜率为：kEF=

k2x2-k1x1

x2-x1

=

k1+k2

1-16k1k2

=

3

4

于是直线FE的方程为：y+

32k12

16k12+1

-1=

3

4

(x+

32k1

16k12+1

)即y=

3

4

x-

7

3

则圆心（2，0）到直线FE的距离d=

| 3 2 - 7 3 |

1+ 9 16

=

2

3

故结论成立．------------（15分）

点评：本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆，直线和椭圆的位置关系．