Question

17．已知a$\sqrt{1-{b}^{2}}$+b$\sqrt{1-{a}^{2}}$=1，求证：a²+b²=1．

Answer 1

分析 法一、利用柯西不等式即可得出；
法二、构造向量$\overrightarrow{m}=（a，\sqrt{1-{a}^{2}}），\overrightarrow{n}=（\sqrt{1-{b}^{2}}，b）$，利用$|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|≤|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|$中等号成立的条件得答案．

解答 证明：法一、由柯西不等式，得1=a$\sqrt{1-{b}^{2}}$+b$\sqrt{1-{a}^{2}}$≤[a²+（1-a²）][（1-b²）+b²]=1，
当且仅当$\frac{b}{\sqrt{1-{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{1-{b}^{2}}}{a}$时，上式取等号，
∴ab=$\sqrt{1-{a}^{2}}\sqrt{1-{b}^{2}}$，化为a²b²=（1-a²）（1-b²），
于是a²+b²=1．
法二、令$\overrightarrow{m}=（a，\sqrt{1-{a}^{2}}），\overrightarrow{n}=（\sqrt{1-{b}^{2}}，b）$，
由$|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|≤|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|$，得1=$a\sqrt{1-{b}^{2}}+b\sqrt{1-{a}^{2}}≤\sqrt{{a}^{2}+1-{a}^{2}}•\sqrt{{b}^{2}+1-{b}^{2}}=1$，
上式中等号成立，∴$ab=\sqrt{1-{a}^{2}}•\sqrt{1-{b}^{2}}$，则a²+b²=1．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，考查了利用构造向量法证明不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题．