Question

7．已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），其中（a＞0且a≠1）．
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域，并证明h（x）的奇偶性；
（2）根据复合函数单调性理论判断g（x）的单调性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），要使h（x）有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，这样即可得出h（x）的定义域，而求h（-x）=-h（x），从而得出h（x）为奇函数；
（2）可令1-x=u，u＞0，从而得出函数u=1-x单调递减，讨论a＞1，和0＜a＜1，从而判断y=log_au的单调性，这样根据复合函数的单调性便可得出g（x）的单调性．

解答 解：（1）h（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）；
解$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴h（x）的定义域为（-1，1）；
h（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x）；
∴函数h（x）为奇函数；
（2）令u=1-x，u＞0，则u在（-∞，1）上单调递减；
当a＞1时，函数y=log_au在定义域内单调递增，当0＜a＜1时，函数y=log_au在定义域内单调递减；
∴当a＞1时，函数g（x）在（-∞，1）上单调递减，当0＜a＜1时，函数g（x）在（-∞，1）上单调递增．

点评 考查函数定义域的概念，奇函数的定义及判断方法，一次函数、对数函数的单调性，以及复合函数的单调性的判断．