Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b

=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=

1

2

|AF1||AF2|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先写出过A、B的直线方程，因为由题意得

x2+y2 a2+b2 =1 y=- 1 2 x+1

有惟一解．消去y得：(b2+

1

4

a2)x2-a2x+a2b2=0有惟一解，
利用其根的判别式等于0，即可求得a，b的值，从而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c=

6

2

，所以F1(-

6

2

，0)，F2(

6

2

，0)由

x2+y2 a2+b2 =1 y=- 1 2 x+1

解得x₁=x₂=1，接下来利用距离公式求得线段的长，从而证得|AT|2=

1

2

|AF1|•|AF2|．

解答：解：（Ⅰ）过A、B的直线方程为

x

2

+y=1
因为由题意得

x2+y2 a2+b2 =1 y=- 1 2 x+1

有惟一解．
即(b2+

1

4

a2)x2-a2x+a2b2=0有惟一解，
所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），，
故（a²+4b²-4）=0
又因为c=

3

2

，即

a2-b2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²
从而得a2=2，b2=

1

2

，
故所求的椭圆方程为

x2

2

+2y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c=

6

2

，
所以F1(-

6

2

，0)，F2(

6

2

，0)
由

x2+y2 a2+b2 =1 y=- 1 2 x+1

解得x₁=x₂=1，，
因此T=(1，

1

2

)．
从而|AT|2=

5

4

，
因为|AF1|•|AF2|=

5

2

，
所以|AT|2=

1

2

|AF1|•|AF2|

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线方程、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、方程思想．属于中档题．