题目内容
如图，椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点且斜率为K的直线交椭圆于P、Q两点，其中P在第一象限，它在x轴上的射影为点N，直线QN交椭圆于另一点H．证明：对任意的K＞0，点P恒在以线段QH为直径的圆内．
分析：（Ⅰ）根据椭圆上的点到左焦点为F的最大距离是2+
，M（1，e）在椭圆上，建立方程组，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线QN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积，即可得到结论．
| 3 |
（Ⅱ）设出直线QN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：由题意，
，解得a2=4，b2=1
∴椭圆的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）证明：令P（x1，kx1），H（xH，yH），则Q（-x1，-kx1），N（x1，0）
∴kPN=
，∴直线QN的方程为y=
（x-x1），
代入
+y2=1，整理得（1+k2）x2-2k2x1x+k2x12-4=0
∴（-x1）+xH=
，∴xH=
+x1，
∴
=（-2x1，-2kx1），
=（
，
）
∴
•
=
∵k＞0，x1＞0，∴
•
＜0
∴对任意的k＞0，点P恒在以线段QH为直径的圆内．
|
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）证明：令P（x1，kx1），H（xH，yH），则Q（-x1，-kx1），N（x1，0）
∴kPN=
| k |
| 2 |
| k |
| 2 |
代入
| x2 |
| 4 |
∴（-x1）+xH=
| 2k2x1 |
| 1+k2 |
| 2k2x1 |
| 1+k2 |
∴
| PQ |
| PH |
| 2k2x1 |
| 1+k2 |
| -kx1 |
| 1+k2 |
∴
| PQ |
| PH |
| -2k2x12 |
| 1+k2 |
∵k＞0，x1＞0，∴
| PQ |
| PH |
∴对任意的k＞0，点P恒在以线段QH为直径的圆内．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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