Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P(1，

3

2

)，其左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

1

2

，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且

F1M

•

F2N

=0．
（1）求椭圆的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）因为：e=

c

a

=

1

2

，且过点P(1，

3

2

)，列出关于a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆方程即可；
（2）设点M（4，y₁），N（4，y₂）写出向量的坐标，利用向量的数量积得到y₁y₂=-15，又MN=|y2-y1|=|-

15

y1

-y1|=

15

|y1|

+|y1|≥2

15

，结合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程，再令y=0，得x²-8x+1=0从而得出圆C过定点．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

1

2

，且过点P(1，

3

2

)，
∴

1 a2 + 9 4b2 =1 a=2c a2=b2+c2

解得

a=2 b= 3

∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（2）设点M（4，y₁），N（4，y₂）则

F1M

=(5，y1)，

F2N

=(3，y2)，

F1M

•

F2N

=15+y1y2=0，
∴y₁y₂=-15，
又∵MN=|y2-y1|=|-

15

y1

-y1|=

15

|y1|

+|y1|≥2

15

，
∴MN的最小值为2

15

．
（3）圆心C的坐标为(4，

y1+y2

2

)，半径r=

|y2-y1|

2

．
圆C的方程为(x-4)2+(y-

y1+y2

2

)2=

(y2-y1)2

4

，
整理得：x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+16+y₁y₂=0．∵y₁y₂=-15，∴x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+1=0
令y=0，得x²-8x+1=0，∴x=4±

15

．∴圆C过定点(4±

15

，0)．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．