Question

已知椭圆C:（a＞b＞0），点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，点P(2,)在直线x=上，且|F₁F₂|=|PF₂|,直线:y=kx+m为动直线，且直线与椭圆C交于不同的两点A、B。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足（O为坐标原点），求实数的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，△ABO的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

解：椭圆的左、右焦点分别为、 ，  

又，  ,       

解得，                   

椭圆的方程为 ．          

   （Ⅱ）由，得．

设点、的坐标分别为、，则

．

   （1）当时，点、关于原点对称，则．

   （2）当时，点、不关于原点对称，则，

由，得       即

点在椭圆上，有，

化简，得．

，有．………………①       

又，

由，得．……………………………②　　 　

将①、②两式，得．

，，则且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．

（Ⅲ），点到直线的距离，

的面积

                ． 

由①有，代入上式并化简，得．

，．            

当且仅当，即时，等号成立．

当时，的面积最大，最大值为．