题目内容

设函数
(Ⅰ)当时,求的最大值;
(Ⅱ)令,(),其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当,方程有唯一实数解,求正数的值.
解: (Ⅰ)依题意,知的定义域为(0,+∞),
时,
(2′)令=0,
解得.(∵
因为有唯一解,所以,当时,
,此时单调递增;
时,,此时单调递减。
所以的极大值为,此即为最大值        ………4分
(Ⅱ),则有,在上恒成立,
所以             
时,取得最大值,所以…            ……8分
(Ⅲ)因为方程有唯一实数解,
所以有唯一实数解,

.令.
因为,所以(舍去),
时,在(0,)上单调递减,
时,在(,+∞)单调递增
时,=0,取最小值

所以,因为,所以(*)
设函数,因为当时,
是增函数,所以至多有一解.
因为,所以方程(*)的解为,即,解得 12分
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