题目内容
设函数
(Ⅰ)当时,求的最大值;
(Ⅱ)令,(),其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
(Ⅰ)当时,求的最大值;
(Ⅱ)令,(),其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
略
解: (Ⅰ)依题意,知的定义域为(0,+∞),
当时,,
(2′)令=0,
解得.(∵)
因为有唯一解,所以,当时,
,此时单调递增;
当时,,此时单调递减。
所以的极大值为,此即为最大值 ………4分
(Ⅱ),,则有≤,在上恒成立,
所以≥,
当时,取得最大值,所以≥… ……8分
(Ⅲ)因为方程有唯一实数解,
所以有唯一实数解,
设,
则.令,.
因为,,所以(舍去),,
当时,,在(0,)上单调递减,
当时,,在(,+∞)单调递增
当时,=0,取最小值.
则既
所以,因为,所以(*)
设函数,因为当时,
是增函数,所以至多有一解.
因为,所以方程(*)的解为,即,解得 12分
当时,,
(2′)令=0,
解得.(∵)
因为有唯一解,所以,当时,
,此时单调递增;
当时,,此时单调递减。
所以的极大值为,此即为最大值 ………4分
(Ⅱ),,则有≤,在上恒成立,
所以≥,
当时,取得最大值,所以≥… ……8分
(Ⅲ)因为方程有唯一实数解,
所以有唯一实数解,
设,
则.令,.
因为,,所以(舍去),,
当时,,在(0,)上单调递减,
当时,,在(,+∞)单调递增
当时,=0,取最小值.
则既
所以,因为,所以(*)
设函数,因为当时,
是增函数,所以至多有一解.
因为,所以方程(*)的解为,即,解得 12分
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