Question

【题目】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．
（1）证明：DE⊥平面PBC．
（2）试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）记阳马P﹣ABCD的体积为V1 ， 四面体EBCD的体积为V2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD．

DE平面PCD，所以BC⊥DE．

又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．

而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC

（2）解：由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，

可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，

其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB

（3）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，

所以 = ；

由（1）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，

所以 ．

在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE+

于是 = =4

【解析】（1）推导出PD⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，能证明DE⊥平面PBC．（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，能得到四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（3）由PD是阳马P﹣ABCD的高，得到 = ；由DE是鳖臑D﹣BCE的高，得到 ．由此能求出 的值．