题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,且
,
.四边形
满足
,
,
.
为侧棱
的中点,
为侧棱
上的任意一点.
(1)若为
的中点,求证: 面
平面
;
(2)是否存在点,使得直线
与平面
垂直? 若存在,写出证明过程并求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)由面面垂直的性质定理可得平面
,从而得
,再结合
,可得
平面
,又利用三角形中位线定理可得
,进而可得结果;(2)过点
作
,垂足为
,先证明
平面
,结合
平面
,得
,从而可得
平面
,利用三角形面积相等即可得线段
的长.
试题解析:(1)∵分别为侧棱
的中点,∴
.
∵,∴
.
∵面平面
,且
,面
平面
,
∴平面
,结合
平面
,得
.
又∵,
,∴
平面
,可得
平面
.
∴ 结合平面
,得平面
平面
.
(2)存在点,使得直线
与平面
垂直.
平面中,过点
作
,垂足为
∵由己知,
,
,
.
∴根据平面几何知识,可得.
又∵由(1)平面
,得
,且
,
∴平面
,结合
平面
,得
.
又∵,∴
平面
.
在中,
,
,
,
∴,
.
∴上存在点
,使得直线
与平面
垂直,此时线段
长为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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