题目内容
15.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>3)=a,P(1<ξ≤3)=b,则函数$f(a)=\frac{{{a^2}+a-1}}{a+1}$的值域是$(-1,-\frac{1}{6})$.分析 根据条件确定a的范围,令$t=a+1∈(1,\frac{3}{2})$,函数$f(a)=g(t)=t-\frac{1}{t}-1$在$t∈(1,\frac{3}{2})$上是增函数,即可求出函数$f(a)=\frac{{{a^2}+a-1}}{a+1}$的值域.
解答 解:因为随机变量ξ服从正态分布N(2,9),
所以正态曲线关于直线x=2对称,所以P(ξ>3)=P(ξ<1)=a,
则有$\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ a>0,b>0\end{array}\right.⇒0<a<\frac{1}{2}$,$f(a)=a-\frac{1}{a+1}=(a+1)-\frac{1}{a+1}-1$,
令$t=a+1∈(1,\frac{3}{2})$,函数$f(a)=g(t)=t-\frac{1}{t}-1$在$t∈(1,\frac{3}{2})$上是增函数,
所以$g(t)∈(g(1),g(\frac{3}{2}))=(-1,-\frac{1}{6})$.
故答案为:$(-1,-\frac{1}{6})$.
点评 本题考查正态曲线的性质,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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