Question

6．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若△HF₁F₂的面积为a²，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），与bx-ay=0联立可得H的坐标，利用△HF₁F₂的面积为a²，可得$\frac{1}{2}×2c×\frac{ab}{c}$=a²，即可求出双曲线离心率．

解答 解：设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c）
与bx-ay=0联立可得H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）
因为△HF₁F₂的面积为a²，所以$\frac{1}{2}×2c×\frac{ab}{c}$=a²，
所以a=b，
所以c=$\sqrt{2}$a，
所以e=$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线离心率，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，确定M的坐标是关键．