Question

12．设F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P使（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，O为坐标原点，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=2|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 取PF₂的中点A，可得$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OA}$，利用（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，从而可得PF₁⊥PF₂，利用双曲线的定义及勾股定理，由离心率公式计算可得结论．

解答 解：取PF₂的中点A，则$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OA}$，
∵（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，∴2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，
∵O是F₁F₂的中点，
∴OA∥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
∵|PF₁|=2|PF₂|，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=|PF₂|，
∵|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
∴c=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，利用向量确定PF₁⊥PF₂是关键．